LB Julio Sánchez Vivas - Matematica 1ro a 5to

Áreas y Volúmenes

La observación de un fenómeno es en general incompleta a menos que de lugar a una información cuantitativa. Para obtener dicha información se requiere la medición de una propiedad física, y así la medición constituye una buena parte de la rutina diaria del físico experimental. Lord Kelvin señalo que nuestro conocimiento es satisfactorio solamente cuando lo podemos expresar mediante números. Aunque esta afirmación es quizás exagerada, expresa una filosofía que un científico debe tener en mente todo el tiempo en sus investigaciones. La expresión de una propiedad física en términos de números requiere no solamente que utilicemos las matemáticas para mostrar las relaciones entre las diferentes cantidades, sino también tener el conocimiento para operar con estas relaciones. La matemática es la herramienta del científico; debe ser manipulada con destreza y cabalidad de modo que su uso ayude a comprender en lugar de oscurecer su trabajo.

Cantidades Fundamentales y Unidades:

Antes de efectuar una medición, debemos seleccionar una unidad para cada cantidad a medirse. Para propósitos de medición, hay cantidades fundamentales y derivadas, y unidades. El Científico reconoce tres cantidades fundamentales independientes: longitud, masa y tiempo. La longitud es un concepto primario y es una noción que todos adquirimos naturalmente; es inútil intentar dar una definición de ella. De igual manera lo es el tiempo. La masa es un coeficiente, característico de cada partícula que determina su comportamiento cuando interactúa con otras partículas así como la intensidad de sus interacciones gravitacionales. Los físicos se han puesto de acuerdo (en la onceava Conferencia General sobre pesos y medidas realizadas en Paris en 1960) para usar el sistema MKS. Las iniciales representan el metro, el kilogramo y el segundo. Sus definiciones son: El metro, abreviado m, es la unidad de longitud. El kilogramo, abreviado k, es la unidad de masa. El segundo, abreviado s, es la unidad de tiempo. En muchos países de habla inglesa se utiliza otro sistema de unidades, el cual es usado ampliamente en aplicaciones prácticas y de ingeniería. La unidad de longitud es el pie, abreviado ft, la unidad de masa es la libra, abreviado lb, y la unidad de tiempo es nuevamente el segundo.

Unidades Métricas Equivalentes son:

1 pie (ft) = 0,3048 m

1 m = 3,281 pie(ft)

1 libra(lb) = 0,4536 Kg

1 Kg = 2,205 libra(lb)

1 yarda (yd) = 0,9144 m

1 pulgada (pulg) = 2,54 cm

1 micra(µ) = 10-6 m

1 milla marina = 1852 m

1 milla terrestre = 1609,3 m

1 ángstrom (Å) =10-10 m

Transformación de Medidas:

El Sistema Métrico Decimal: tuvo su origen durante la Revolución Francesa pero el reconocimiento de su universalidad fué la firma de la Convención del Metro en el año 1875. Es el más práctico de los diferentes sistemas de numeración que están en uso y hay pocas naciones en el mundo que no lo empleen por lo menos en transacciones comerciales. Las unidades lineales aumentan o disminuyen de 10 en 10, las superficiales de 100 en 100 y las cúbicas de 1000 en 1000. Con ayuda del siguiente esquema, que contiene los múltiplos y submúltiplos de la unidad, vamos a hacer algunas transformaciones.

Según el esquema, para ir un puesto a la izquierda hay que dividir y para ir un puesto hacia la derecha hay que multiplicar. Cuando la unidad es lineal, cada puesto que se traslada se multiplica o divide por 10, cuando es superficial por 100 y cuando es cúbica por 1000.

Ejercicios Resueltos.-

Transformar cada una de las siguientes medidas:

24 kg a gr

286 mm a kilómetros

Las medidas que tenemos que transformar son lineales, por lo tanto aumentan y disminuyen de 10 en 10.

24·10·10·10 gr = 24·103gr = 24000 gramos

286(1/10)(1/10)(1/10)(1/10)(1/10)(1/10)(1/10)km = 286/(106)km = 286·10-6km = 0,000286 kilómetros.

Ejercicios Resueltos.-

Transformar cada una de las siguientes medidas:

5 m2 a cm2

24 cm2 a km2

Las medidas que tenemos que transformar son cuadradas, por lo tanto aumentan y disminuyen de 100 en 100.

5·100·100 cm2 = 5·104 cm2 = 50000 cm2

24·(1/102)·(1/102)·(1/102)·(1/102)·(1/102) km2 = 24/(1010) km2 = 24·10-10 km2 = 0,0000000024 km2

Ejercicios Resueltos.-

Transformar cada una de las siguientes medidas:

4 m3 a cm3

26 mm3 a m3

Las medidas que tenemos que transformar son cúbicas, por lo tanto aumentan y disminuyen de 1000 en 1000.

4·1000·1000 cm3 = 4·106 cm3 = 4000000 cm3

26·(1/103)·(1/103)·(1/103) m3 = 26/(109) m3 = 26·10-9 m3 = 0,000000026 m3

Ejercicios para Resolver.-

Transformar cada una de las siguientes medidas:

245 km a mm

164 kg a gr

25 litros a mililitros (1 litro = 1000 cm3)

26, 2 m2 a cm2

17, 5 km2 a dm2

0, 0084 m3 a cm3

14 cm3 a dm3

1483 mm3 a m3

1483 m3 a km3

0,000001 mm3 a m3

0,3030 m3 a dm3

Fórmulas Geométricas más usadas para calcular Superficies Y Volúmenes.

Superficies de algunas Figuras Geométricas.-

Volúmenes de algunas Figuras Geométricas

Las Ecuaciones

Igualdad: es la expresión matemática que determina que dos cantidades o expresiones matemáticas son iguales.

Ejemplo.- (a) 3 + 5 = 8 (b) 3x + y = 3 (c) 2x - 1/3 = 5y

Ecuación: es toda igualdad en que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas, y que solamente se verifica para determinados valores de dichas incógnitas. Las incógnitas generalmente se representan por las ultimas letras del alfabeto x, y e z; a cada una de las expresiones separadas por el signo =, se le denomina miembro de la ecuación, siendo el primer miembro el que esta a la izquierda del signo = y segundo miembro, el que esta a la derecha. Se denominan términos, a cada una de las expresiones que están conectadas con los signos + ó -.

En la siguiente ecuación: 3x + 2y = 3y + ( 4x - 2 )/2 el primer miembro es: 3x + 2y ; el segundo término es: 3y + ( 4x - 2 )/2 ; las incógnitas: x e y ; los términos son: 3x ; 2y; 3y; ( 4x - 2 )/2. Resolver una ecuación, es determinar él o los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad. A estos valores de las incógnitas, se les denomina soluciones o raíces de la ecuación. Grado de una ecuación con una incógnita; es el mayor exponente que tiene la incógnita.

Ecuaciones Equivalentes: dos ecuaciones se denominan equivalentes, cuando tienen las mismas soluciones.

Identidad: es toda igualdad que se verifica para cualquier valor de las incógnitas. El desarrollo de los productos notables son identidades.

Resolución de Ecuaciones: para resolver ecuaciones; nos apoyamos en los siguientes principios: "Si a los miembros de una igualdad se les suma, resta, multiplica o divide por el mismo número, la igualdad no se altera." Una de las aplicaciones de las ecuaciones, consiste en la resolución de determinados problemas cuyo planteamiento da cómo origen una ecuación. La resolución de un problema con ayuda de una ecuación, consiste en su planteo y después en su resolución. No hay ningún procedimiento que permita traducir el enunciado a una ecuación, ya que es personal la forma de hacerlo. Procedimiento para la resolución de una ecuación: (1) Suprimimos signos de colección o agrupación. (2) Hacemos transposición de términos escribiendo los que son independientes en uno de los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la ecuación. (3) Efectuamos reducción de términos semejantes en cada miembro. (4) Despejamos la incógnita.

Ejercicios Resueltos.-

x+9=20; x=20-9; x=11; su conjunto solución es: {11}

20x-8=4x-4; 20x-4x=-4+8; 16x=4; x=4/16; x=1/4; su conjunto solución es: {1/4}

-(5x-2x)-1=8+(-x+7); -5x+2x-1=8-x+7; -5x+2x+x=8+7+1; -2x=16;

(-1)(-2x)=(-1)(16); 2x=-16; x=-16/2; x=-8; su conjunto solución {-8}

(x+2)(x-5)=x2+7x-50; x2-5x+2x-10=x2+7x-50; x2-5x+2x-x2-7x=-50+10;

-10x=-40; (-1)(-10x)=(-1)(-40); 10x=40; x=40/10; x=4; su conjunto solución: {4}

Cinco veces el valor de un número más su mitad, es igual a 22. Determine el número.

Sol.- 5x+x/2=22; (5+1/2)x=22; (11/2)x=22; x=22(2/11); x=4 por tanto el número es 4

La diferencia entre 21 y seis veces el valor de un número, es igual a la diferencia entre 27 y ocho veces el valor del número. Determinar él numero.

Sol.- 21-6x=27-8x; -6x+8x=27-21; 2x=6; x=6/2; x=3; por tanto el número buscado es 3

La suma de dos números es 30 y uno de ellos es el triple del otro menos 2. Hallar los números.

Sol.- x+y=30; x=3y-2 tenemos entonces (3y-2)+y=30; 3y-2+y=30; 4y=32; y=32/4; y=8 ahora x=3(8)-2; x=24-2; x=22 por tanto los números pedidos son 8 y 22

La suma de las edades de 3 personas es 57 años. La mayor, es diez años mayor que la menor; y la del medio cinco años menor que la mayor. Determinar las edades de cada persona.

Sol.- x: edad de la menor; x+10: edad de la mayor; (x+10)-5: edad de la del medio

x+[(x+10)-5]+(x+10)=57; x+x+10-5+x+10=57; x+x+x=57-10+5-10; 3x=42; x=14

Edad de la menor = x = 14 años

Edad de la del medio = (x+10)-5 = (14+10)-5 = 19 años

Edad de la mayor = x+10 = 14+10 = 24 años

Clasificación de los Sistemas de Ecuaciones Lineales:

Por su solución:

Compatibles (con solución)

Determinados (una solución)

Indeterminados (infinitas soluciones)

Incompatibles (sin solución)

Por sus términos independientes:

Homogéneos (términos independientes nulos)

No Homogéneos (no todos los términos independientes son cero)

Ejercicios para Resolver.-

x4-6x3+11x2+96x-80 = 0

(x+8)/(x-1) - (x+4)/(x+1) = 12x/(x2-1)

(x+7)1/2 + (x-5)1/2 = (2x+18)1/2

x4 - 25x2 + 144 = 0

(x/7)+(21/(x+5)) = 47/7

x3 + 6x2 + 3x - 10 = 0

(54)1/3 + (250)1/3 - (16)1/3 =

3(5)1/42(25)1/410(15)1/4 =

(2(20)1/2-5)2 =

-(x5+1)2 =

(2/a3 - 3x)2 =

(1 + x/3)3 =

Soluciones:

x1 = 1; x2 = 4 ; x3 = - 4 ; x4 = - 5

x = 2

x1 = 9 ; x2 = - 11 (no valida)

x1 = 3; x2 = -3 ; x3 = 4 ; x4 = - 4

x1 = -2 ; x2 = 44

x1 = 1; x2 = -2 ; x3 = -5

6(2)1/3

300(3)1/4

105 - 40(5)1/2

- x10 - 1 - 2x5

4/a6 + 9x2 - 12x/a3

1 + x + x2/3 + x3/27

Resolución de Sistemas de Ecuaciones con dos Incógnitas.-

Un sistema está formado por dos semiecuaciones (arriba y abajo), que siempre debemos ordenar de forma que delante del igual siempre haya las dos letras y detrás el término independiente. Si ello no ocurre se hace la transposición de términos. Si aparecen fracciones se resuelven por el método del mínimo común múltiplo.

2x + 3y = 7 [A semiecuación de arriba]

4x - 5y = 3 [B semiecuación de abajo]

Método de Sustitución

Pasos a seguir:

Se despeja la x de la semiecuación de arriba (siempre positiva). El valor de la x despejada de la semiecuación de arriba se sustituye en la x de la semiecuación de abajo. Se resuelve la semiecuación de abajo como una ecuación de 1er grado cuya incógnita es y. El valor de la y obtenida se sustituye por la y de la semiecuación de arriba.

Método de Igualación

Pasos a seguir:

Se despeja la x de las dos semiecuaciones (siempre positivas). Como las x despejadas son las mismas se igualan los valores. Se resuelve la ecuación de 1er grado cuya incógnita es y que queda multiplicando en cruz para suprimir los denominadores. El valor de la y obtenida se sustituye en las dos x despejadas al principio y que por tanto tendrán el mismo valor.

Método de Reducción

Pasos a seguir:

Se multiplica el coeficiente (número de delante) de la x de la semiecuación de abajo por toda la semiecuación de arriba sin el signo y el coeficiente de la x de arriba por toda la semiecuación de abajo sin el signo. Quitamos paréntesis mediante la propiedad distributiva. Cambiamos los signos a conveniencia para poder tachar en caso de estar cambiados los signos pudiendo tachar se deja tal y como estaba. Se tachan las x y se suman miembro a miembro las y, que se despeja y hallamos su valor. Para hallar el valor de la x se repiten los pasos con los coeficientes de las y.

Ejercicios por Resolver.- (2 ecuaciones, 2 incógnitas)

2x + y = 6 ; 4x + 6y = 8

5x + 2y = 11 ; 3x - 7y = -18

x = 3 ; 2x + y =15

3x + 3y = 8 ; y = x

x - 2y = 16 ; x = 10 - y

3x + 5y = 43 ; y = x + 7

x = 2y - 5 ; 2x + 3y = 18

y = 4x ; x + 2y = 54

x - 2y = 5 ; x + 3y = 20

x + 5 = y ; 2x + 3y = 50

x + y = 8 ; 4x - 3y = -10

x + y = 1/2 ; 2x - 2y = 0

Ejercicios por Resolver.- (3 ecuaciones, 3 incógnitas)

Usando la Regla de Cramer

x + y + z = 6 ; x - y - z = -4 ; - x + y - z = -2 sol.- {1,2,3}

2x + 2y + z = 3/2 ; 2x - 2y - 2z = -1 ; x + y - z = 0 sol.- {0,1/2,1/2}

3x - y - 2z = 1 ; x + 2y + 3z = 4 ; x + z = 2 sol.- {1,0,1}

3x - 3y - 2z = 3/2 ; -2x - y - 3z = 10 ; x - y - z = 1 sol.- {-1,-1/2,-3/2}

x + y - z = 0 ; 4x + 2y + z = 1 ; 3x - y - 2z = 1 sol.- { 1/3,-2/9,1/9}

Los Logaritmos

A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Potenciación y Radicación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación. Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes.

Definición de Logaritmo: Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

Logax = b <=> ab = x

que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " . Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente, hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos. La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.

Es la función inversa de la función exponencial. La operación Logaritmación (extracción de logaritmos, o tomar logaritmos) es siempre posible en el campo real cuando tanto la base a del logaritmo como el número x son positivos, (siendo, además, a distinto de 1)

Propiedades:

Loga1 = 0

Logaa = 1

Logaax = x

aLogax = x

Loga(U·V) = LogaU + LogaV

Loga(U/V) = LogaU - LogaV

Loga(Un) = n·LogaU

Loga(U1/n) = (1/n)·LogaU

Logaritmos Decimales:

Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.

Log10x = Logx

Logaritmos Neperianos:

Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.

Logex = Lnx

Cambio de Base:

LogaN = LogbdN / Logbda

donde bd es la basea deseada; normalmente las más usadas son: la base 10 o la base e; de la cual disponemos en las calculadoras científicas.

Antilogaritmo:

Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.

Logax = y <=> AntiLogay = x <=> ay = x

es decir, consiste en elevar la base al número resultado.

Cologaritmo:

Se llama cologaritmo de un número N al logaritmo de su recíproco.

CoLogN = Log(1/N) = -Log(N)

Ecuaciones Logarítmicas:

Aquella ecuación en la que la incógnita aparece sometida a la operación de Logaritmación. La igualdad de los logaritmos de dos expresiones implica la igualdad de ambas (principio en el que se fundamenta la resolución de ecuaciones logarítmicas, también se llama "tomar antilogaritmos").

LogaU = LogaV <=> U = V

Frecuentemente se resuelven aplicando las propiedades de los logaritmos antes enunciadas, en orden inverso, simplificando y realizando transformaciones oportunas.

Sistemas de Ecuaciones Logarítmicas:

Se llaman sistemas de ecuaciones logarítmicas a los sistemas de ecuaciones en los que la/s incógnita/s está sometida a la operación logaritmo. Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes.

Características Útiles:

Para a>1 Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo. Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo.

Para 0<a<1 Los números menores que 1 tienen logaritmo positivo. Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo.

Ejercicios Resueltos.-

10Log(7) = 7

102+Log(3) = 102·10Log(3) = 100·3 = 300

Log8(64) + Log4(64) = Log8(82) + Log4(43) = 2 + 3 = 5

Log4(8) + Log4(2) = Log4(8·2) = Log4(16) = Log4(42) = 2

Log9(243) - Log9(81) = Log9(243/81) = Log9(3) = Log9(91/2) = 1/2 = 0,5

Log7(2) + Log7(0,5) = Log7(2·0,5) = Log7(1) = 0

Log5(375) - Log5(3) = Log5(375/3) = Log5(125) = Log5(53) = 3

Log0,25(16) = Log0,25(42) = Log0,25((1/4)-2) = Log0,25(0,25-2) = -2

Log5(8·10-3) = Log5(23·10-3) = Log5(0,5-3·10-3) = Log5(5-3) = -3

Log16(32) = Log2(32)/Log2(16) = Log2(25)/Log2(24) = 5/4 = 1,25

Log81(27) = Log3(27)/Log3(81) = Log3(33)/Log3(34) = 3/4 = 0,75

Log4(3x+1) = 2 => 4Log4(3x+1) = 42 => 3x+1=16 => 3x=15 => x=5

Logx(343) = 3 => xLogx(343) = x3 => x3 = 343 => x = (343)1/3 => x = 7

Logx+1(64) = 2 => (x+1)Logx+1(64) = (x+1)2 => 64 = (x+1)2 => 64 = x2+2x+1 => x2+2x-63 = 0 => (x-7)(x+9) = 0 => x= 7 solución válida

Log3(4x+1) = 4 => 3Log3(4x+1) = 34 => 4x+1 = 81 => x = 20

Logx(5x-6)=2 => xlogx(5x-6)=x2 => x2=5x-6 => x2-5x+6=0 => (x-2)(x-3)=0 => x=2 y x=3 son soluciones válidas

Ejercicios Resueltos.-

Sabiendo que: Log(2) = a, Log(3) = b y Log(7) = c; entonces:

Log(6)=Log(2·3)=Log(2)+Log(3)=a+b

Log(49)=Log(72)=2Log(7)=2c

Log(5)=Log(10/2)=Log(10)-Log(2)=1-Log(2)=1-a

Log(20,5)=0,5Log(2)=0,5a

Log(700)=Log(7·100)=Log(7)+Log(100)=c+2

Log(0,125)=Log(125/1000)=Log(53/103)=Log((5/10)3)=Log((1/2)3)=Log(2-3)=-3a

Log(0,5)=Log(2-1)=-log(2)=-a

Ejercicios para Resolver.-

Log2(8) =

Log3(27) =

Log4(0,25) =

Log4(8) =

Log27(9) =

Log(1000) =

Log(0,01) =

Log(2x-7) - Log(x-1) = Log(5)

Log(2x-7) - Log(18) = Log(x)

Log(3x-2) + Log(6) = Log(5x)

2x = 128

2(x-3) = 16

2(5x+4) = 8x

7(5x+1) = 49(3x+2)

10x-1·7x = 25

4x·3y=8 ; 2x·8y=9

Ejercicios para Resolver.-

Sabiendo que: log(2) = a, log(3) = b y log(7) = c

Log(4) =

Log(6) =

Log(8) =

Log(9) =

Log(14) =

Log(21) =

Log(5) =

Log(15) =

Log(1,5) =

Log(0,5) =

Log(0,2) =

Log(12) =

Ejercicios para Resolver.-

En cada caso calcular el valor de x:

x = Log8(16)

-3 = Log3(x)

(4/3)=Logx(102/3)

-3 = 2Log25(x)

x = Log8(25) + Log7((1/49)1/3)

Log5(100)+log3(4) = x

Los Números Enteros

La actividad de contar se remonta a los orígenes del hombre y es tan natural como otras actividades mentales: pensar y hablar. Existen evidencias que nos sugieren que los hombres primitivos poseían cierta idea del concepto de número.

Los números más simples son los Números Naturales: 1,2,3,4,5,6,... Con ellos podemos contar. Si agregamos sus inversos aditivos y el cero, obtenemos los Números Enteros. Cuando tratamos de medir longitudes, pesos o voltajes, los enteros son inadecuados, están demasiado espaciados para dar la suficiente precisión, llegamos a considerar a los cocientes (razones) de los enteros, como números, tales como: 3/2, 1/5, -7/8, etc.

Dado x, y, z tres números enteros, tenemos las siguientes propiedades:

Propiedades de Campo

Leyes Conmutativas. x+y=y+x y xy=yx

Leyes Asociativas. x+(y+z)=(x+y)+z y x(yz)=(xy)z

Ley Distributiva. x(y+z)=xy+xz

Elementos Neutros.Hay dos números distintos, 0 y 1, que satisfacen las identidades: x+0=x y x·1=x

Inversos. Cada número tiene un inverso aditivo (también llamado negativo), -x, que satisface la expresión x+(-x)=0. Además, cada número x, excepto 0, tiene su inverso multiplicativo (también llamado recíproco), x-1, que satisface x·x-1 =1.

Propiedades de Orden

Tricotomía. Si x,y son números enteros, se cumple una y solo una de las siguientes propiedades: x < y ó x = y ó x > y

Transitividad. Si x < y; y si y < z => x < z

Aditiva. Si x < y <=> x+z < y+z

Multiplicativa. Cuando z es positivo, x < y <=> xz < yz. Si z es negativo, x < y <=> xz > yz.

Ejercicios Resueltos.-

Simplifique todo lo que sea posible.

4-3(8-12)-6=4-3(-4)-6=4+12-6=16-6=10

2[3-2(4-8)]=2[3-2(-4)]=2[3+8]=2[11]=22

-4[3(-6+13)-2(5-9)]=-4[3(7)-2(-4)]=-4[21+8]=-4[29]=-116

5[-1(7+12-16)+4]+2=5[-1(19-16)+4]+2=5[-1(3)+4]+2=5[-3+4]+2=5[1]+2=5+2=7

(5-10)(-8+1)=(-5)(-7)=35

(-1+10)(23-10-11)(1-9-1)=(9)(23-21)(1-10)=(9)(2)(-9)=-162

(a-x)-(m-n)=a-x-m+n

(a-(b-c(d-e+f)))-(a-b+c)=(a-(b-cd+ce-cf))-(a-b+c)=a-b+cd-ce+cf-a+b-c=c(d-e+f-1)

Ejercicios Resueltos.-

Efectuar, aplicando la Ley Distributiva.

(8+3)2=8·2+3·2=16+6=22

a(5-3+2)=5a-3a+2a=5a+2a-3a=7a-3a=4a

3(11-6+9-7+1)=33-18+27-21+3=33+27+3-18-21=63- 39=24

2a(b+c-d)=2ab+2ac-2ad

Ejercicios Resueltos.-

Sacar el Factor Común en las Expresiones Siguientes

9·3+3·4+5·3=3(9+4+5)

ab-ac+a=a(b-c+1)

5ab-10ac+20an-5a=5a(b-2c+4n-1)

ax²y-9ay+ay-3ay=ay(x²-9+1-3)

15a²bx+3ax-9anx-6anx+6amx=3ax(5ab+1-3n-2n-2m)

Ejercicios Resueltos.-

Aplicar el carácter transitivo a las igualdades siguientes:

m=n y n=p Si m=n y n=p => m=p

a+b=c y x=a+b Si a+b=c y x=a+b => c=x

¿Que se deriva de cada una de las parejas siguientes de desigualdades de acuerdo con el carácter transitivo?

7 > 5 y 5 > 2 Si 7 > 5 y 5 > 2 => 7 > 2

a < b y b < m Si a < b y b < m => a < m

6 > 3 y 2 < 3 Si 6 > 3 y 2 < 3 => 6 > 2

Expresar el carácter transitivo de la relación de mayor con los números 8,3 y 7.

Solución: 8 > 7 y 7 > 3 luego 8 > 3

Ejercicios para Resolver.-

300-41-63-56-31+89-114+1056=

915+316-518-654+673-185+114+2396=

(4+5+3)+8=

150-(14-6)=

450-(14-6+5-4)=

(9-6+3)-2-(8-7+1)=

(8-1)-(16-9)+4-1+9-6+(11-6)-(9-4)=

(7-5)+(13-4)-(17+3)+(18-9)=

40+[25-(3-2)]=

250+[(7-2)+(4-1)+(3-2)]=

450-[6 + {4 - (3-1)}]=

500-{6+[(14-6)-(7-2)+(4-1)]}=

[(6-4)-(3-2)]-[(9-7)-(6-5)]=

8+[9-{6-(5-4)}]+14-{11-[7-(3-2)]}=

250-[(6+4)-(3-1)+2]+{16-[(8+3)-(12-10)]}=

(m-8)+(8+m)=

(n-m)+(n+m)=

(2m-5n+10p)-(3m-7n-8p)=

5x-3y-8w-15y-9x-w=

9+6·4-5=

2·7-5·4+3·6-2·11+13=

(11-4)5-4(6+2)+4(5-3)-2(8-6)=

(3+2)(5-1)+(8-1)3-4(6-2)=

Ejercicios para Resolver (con Soluciones).-

La suma de dos números es 1250 y su diferencia 750. Hallar los números. SOL 1000 y 250.

El triple de la suma de dos números es 1350 y el doble de su diferencia es 700. Hallar los números. SOL 400 y 50.

La mitad de la suma de dos números es 850 y el cuádruplo de su diferencia es 600. Hallar los números. SOL 925 y 775.

Un muchacho tiene 32 metras entre las dos manos y en la derecha tiene 6 más que en la izquierda. ¿Cuantas metras tiene en cada mano? SOL 19 en la derecha y 13 en la izquierda.

Una pecera con sus peces vale 2600 bolívares, y la pecera vale 200 bolívares más que los peces. ¿Cuanto vale la pecera y cuanto los peces? SOL Pecera 1400 bolívares y los peces 1200 bolívares.

Un hotel de dos pisos tiene 48 habitaciones, y en el segundo piso hay 6 habitaciones más que en le primero. ¿Cuantas habitaciones hay en cada piso? SOL En el primer piso 21 habitaciones y en el segundo piso 27.

La edad de un padre y la de su hijo suman 90 años. Si el hijo nació cuando el padre tenía 36 años, ¿Cuales son las edades actuales? SOL 63 y 27

Cuando Rosa nació, María tenía 30 años. Ambas edades suman hoy 28 años más que la edad de Elsa, que tiene 50 años. ¿Que edad tiene Matilde, que nació cuando Rosa tenía 11 años? SOL 13 años

Yo tengo más dinero que tú y menos que tu primo. ¿Quien es más rico? SOL Tu primo

Múltiplos y Divisores

Número Primo: es el número que no admite ningún divisor distinto de si mismo y el 1. Los números primos son: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,...

Número Compuesto: todo número que no es primo, es decir, todo número que admite algún divisor distinto de si mismo y de la unidad, se llama compuesto. Para reconocer si un número es primo o compuesto, divídase por los números primos sucesivos 2, 3, 5, 7, 11,...; si se llega hasta un cociente igual o menor que el divisor sin haber obtenido ninguna división exacta, el número es primo, y en caso contrario, compuesto.

Múltiplo: de un número es el número que contiene a éste, un número exacto de veces. Por ejemplo, 14 es múltiplo de 2 porque 14 contiene a 2, siete veces; 20 es múltiplo de 5 porque contiene a 5, cuatro veces. Los múltiplos de un número se forman multiplicando este número por la serie infinita de los números enteros 0, 1, 2, 3,...; luego, todo número tiene infinitos múltiplos.

Divisor (submúltiplo o factor): de un número es el número que está contenido en el primero un número exacto de veces. Por ejemplo: 4 es divisor de 24, porque esta contenido en 24, seis veces; 8 es divisor de 64, porque esta contenido en 64, 8 veces.

Número Par: es todo número múltiplo de 2. La fórmula general de los números pares es 2n, siendo n un número entero cualquiera, ya sea par o impar, pues si es par, multiplicado por 2 dará otro número par, y si es impar, multiplicado por 2 dará un número par. Todos los números pares, excepto el 2, son compuestos.

Número Impar: es el que no es múltiplo de 2. La fórmula general de los números impares es 2n±1, siendo n un número entero cualquiera, pues 2n representa un número par, que aumentado o disminuido en una unidad dará un número impar.

Máximo Común Divisor: dados dos números enteros n y m, su máximo común divisor es el mayor entero positivo que divide a ambos números y se denota mediante MCD(n,m).

Ejemplo: dados los números 330 y 2772. ¿Hallar el máximo común divisor?

330=2·3·5·11 y 2772=22·32·7·11 el MCD (330,2772)=2·3·11=66

Ejemplo: dados los números 720, 90 y 252. ¿Hallar el máximo común divisor?

720=24·32·5, 90=2·32·5 y 252=22·32·7 el MCD (720, 90,252)=2·32=18

Mínimo Común Múltiplo: dados dos números enteros no nulos n y m, su mínimo común múltiplo es el menor entero positivo que es múltiplo de ambos números y se denota mediante mcm(n,m). Según hemos visto todo múltiplo de un número tiene todos los factores de éste elevados a iguales o mayores exponentes.

Ejemplo: dados los números 330 y 2772. ¿Hallar el mínimo común múltiplo?

330=2·3·5·11 y 2772=22·32·7·11 el mcm(330,2772)=22·32·5·7·11=13860

Ejemplo: dados los números 720, 90 y 252. ¿Hallar el mínimo común múltiplo?

720=24·32·5, 90=2·32·5 y 252=22·32·7 el mcm(720,90,252)=24·32·5·7=5040

Ejercicios para Resolver.-

Hallar máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes grupos de números:

40 y 240

9999 y 999

775 y 1800

325, 169 y 1014

18 y 24

32, 48, 64, y 80

15, 20, 30 y 60

1800, 420, 1260 y 108

Potenciación (Exponente Entero)

an=b donde a:base, n:exponente; el exponente pertenece a los Números Enteros

Leyes de la Potenciación:

Ley de la Uniformidad: esta ley puede enunciarse de dos maneras equivalentes:

Cualquier potencia de un número tiene un valor único o siempre igual.

Puesto que números iguales son el mismo número, se verifica que: Si los dos miembros de una igualdad se elevan a una misma potencia, resulta otra igualdad.

Ejm: Siendo a=3 se verifica que a2=32 o sea a2=9; a3=33 o sea a3=27;...y en general an=3n.

Ley de Monotonía: Si los dos miembros de una desigualdad se elevan a una misma potencia que no sea cero, resulta una desigualdad del mismo sentido que la dada.

Ejm: Siendo 7>5 resulta: 72>52 o sea 49>25; 73>53 o sea 343>125, y en general 7n>5n.

Ley Distributiva: La potenciación es distributiva respecto de la multiplicación y de la división exacta.

Respecto a la multiplicación: para elevar un producto a una potencia se eleva cada uno de los factores a dicha potencia y se multiplican estas potencias.

(abc)n=anbncn

Respecto a la división: para elevar un cociente exacto o una fracción a una potencia cualquiera se elevan su numerador y denominador a dicha potencia.

(a/b)n=an/bn

En la Potenciación no se cumple la Ley Conmutativa.

La Regla de los Signos en la Potenciación:

Dado la potencia an=b donde a: base, n: exponente; el exponente pertenece a Z; se enumeran dos casos:

Si n es par, entonces si a > 0 tenemos que: b > 0 y si a < 0 tenemos que: b > 0

Si n es impar, entonces si a > 0 tenemos que: b > 0 y si a < 0 tenemos que: b < 0

Operaciones con Potencias de Igual Base:

Multiplicación de potencias de igual base, se escribe la misma base y se suman los exponentes.

División de potencias de igual base, se escribe la misma base y se restan los exponentes.

Potencia de una potencia, es otra potencia de igual base cuyo exponente es el producto de los 2 exponentes

Ejercicios Resueltos.-

(-3)5=-35=-243

(-2)6=26=64

13·23-9·23+15·23+6(-2)3-5(-2)3-(-2)3=23(13-9+15)+(-2)3(6-5-1)=8(28-9)-8(6-6)=8(19)-8(0)=152

a2+(-a)2=a2+a2=2a2

(-2a)2=4a2

(-2a)3=-8a3

(-2a)2n=4a2n

(3·4)2(2·3·4)3=32·42·23·33·43=32+3·42+3·23=35·45·23=243·1024·8=1990656

(2xy)(-4xyz)3=(2xy)(-64x3y3z3)=-128x1+3y1+3z3=-128x4y4z3

(3/4)4=34/44 =81/256

(103)2=106=1000000

(2xy/z)4=24x4y4/z4=16x4y4/z4

(((24)4)2)=(216)2=232

(106/102)=106+2=104=10000

(2·3·4)n(4·3·2)4=2n+43n+44n+4

(1100)(1000)=(1)(1)=1

Los Números Racionales

Muchas mediciones que se presentan en la práctica, por ejemplo, la estatura de una persona, la temperatura ambiente, el peso de un objeto, la velocidad de un móvil, no siempre puede expresarse mediante números enteros.

Los números que se pueden escribir en la forma m/n, donde m y n son enteros y n diferente de cero, se llaman Números Racionales. A m lo denominamos numerador, a n denominador.

Se denotan con la letra Q. Los Números Racionales cumplen con las propiedades de Campo y de Orden, vistas en el Tema anterior (Los Números Enteros).

Los números racionales son los que se pueden representar por medio de fracciones. Se pueden clasificar en dos grupos: Limitados y Periódicos. Estos últimos se pueden clasificar a su vez, en periódicos puros y periódicos mixtos. Los números racionales limitados son los que en su representación decimal tienen un número fijo de números. Por ejemplo: 1/4 = 0,25. Los números racionales periódicos son los que en su representación decimal tienen un número ilimitado de números. Hay dos tipos de números racionales periódicos: Los periódicos puros: Un número, o grupo de números, se repite ilimitadamente, desde el primer decimal. (Por ejemplo: 3,838383...) Y los periódicos mixtos: un número o grupo de números se repite ilimitadamente a partir del segundo o posterior decimal (por ejemplo 3,27838383...). Para obtener la fracción que genera un número periódico puro haremos lo siguiente: a = 3,8383... 100 a = 383,8383... Restando estas dos ecuaciones obtenemos 99 a = 380, por lo que a = 380/99 Para obtener la fracción que genera un número periódico mixto haremos lo siguiente: a = 3,278383... 100 a = 327,8383... 10000 a = 32783,8383... Restando las dos últimas ecuaciones 9900 a = 32456, por lo que a = 32456/9900.

Propiedades de los Números Racionales:

Teorema.- De varios números racionales que tengan el mismo denominador, es mayor el que tenga mayor numerador.

Teorema.- De varios números racionales que tengan el mismo numerador, es mayor el que tenga el menor denominador.

Teorema.- Si a los dos términos de una fracción propia (m < n), se suma un mismo número, la fracción resultante es mayor que la primera.

Teorema.- Si a los dos términos de una fracción propia, se le resta un mismo número, la fracción resultante es menor que la primera.

Teorema.- Si a los dos términos de una fracción impropia (m > n), se suma un mismo número, la fracción resultante es menor que la primera.

Teorema.- Si a los dos términos de una fracción impropia, se resta un mismo número, la fracción resultante es mayor que la primera.

Teorema.- Si el numerador de un número racional se multiplica por un número, sin variar el denominador, la fracción queda multiplicada por dicho número, y si se divide, la fracción queda dividida por dicho número.

Teorema.- Si el denominador de un número racional se multiplica o divide por un número, la fracción queda dividida en el primer caso y multiplicado en el segundo por el mismo número.

Teorema.- Si los dos términos de una fracción se multiplican o dividen por un mismo número, la fracción no varía.

Operaciones con Números Racionales:

Simplificación de Fracciones: para simplificar una fracción se dividen sus dos términos sucesivamente por los factores comunes que tengan.

Ejemplo: Reducir a su más simple expresión 1240/2360; tenemos al dividir entre 2, 620/590, volviendo a dividir entre 2 tenemos, 310/295, se observa que ambos términos son divisibles entre 5, 102/59, y así llegamos a que 59 es un número primo y el numerador no es divisible entre 59, por tanto la expresión más simple del número racional dado es: 102/59.

Reducción de una Fracción a su expresión más simple, en una sola operación: se halla el máximo común divisor de los términos de la fracción y se divide el numerador y el denominador por el máximo común divisor.

Ejemplo: Reducir a su expresión más simple 7293/17017; el máximo común divisor entre los dos términos es 2431, al dividir numerador y denominador por el m. c. d. obtenemos: 3/7 que es la expresión más simple de la fracción dada.

Simplificación de Expresiones Compuestas: para simplificar expresiones fraccionarias cuyo numerador sea un producto indicado y su denominador otro producto, se van dividiendo los factores del numerador y denominador por sus factores comunes hasta que no haya factores comunes al numerador y denominador.

Ejemplo: Simplificar 12·10·35/16·14·21; al dividir entre factores comunes nos queda: 1·5·5/4·7·1 que al multiplicar nos queda 25/28.

Suma Algebraica de Números Racionales con el mismo denominador se suman los numeradores y el denominador común permanece igual, y se simplifica el resultado.

Ejemplo: Efectuar 1/5 + 3/5 - 7/5 + 10/5 = (1+3-7+10)/5 = 7/5

Suma Algebraica de Números Racionales con diferentes denominadores: se simplifican las fracciones dadas si es posible, luego de ser irreducibles, hallamos el mínimo común múltiplo entre los denominadores.

Ejemplo: Efectuar 3/5 + 2/3 - 3/7 = el m. c. m. es 105, nos queda: = (63+70–45)/105 = 88/105

Multiplicación de Números Racionales: para multiplicar dos o más fracciones, se multiplican numeradores con numeradores, y denominadores con denominadores y luego simplificamos.

Ejemplo: (2/3)·(5/3)·(-1/2) = - (2·5·1) / (3·3·2) = - 5/9

División de Números Racionales: para dividir dos números racionales se multiplica el dividendo por el divisor invertido y se simplifica el resultado.

Ejemplo: (2/3)/(4/9) =(2/3)·(9/4)= (2·9)/(3·4) = 18/12 = 9/6 = 3/2

Ejercicios para Resolver.-

Reducir a su más simple expresión:

28/36

343/539

594/648

2004/3006

286/1859

1470/4200

1573/11011

2535/20280

1598/1786

98/105

306/1452

1690/3549

Ejercicios para Resolver.-

Reducir a su mínima expresión por medio de una sola operación:

98/147

343/7007

2401/19208

2006/7021

2138/19242

150025/210035

691320/881433

3003/6006

Ejercicios para Resolver.-

Simplificar:

2/3 + 5/6 - 1/12 =

3/4 - 5/8 + 7/12 =

11/15 - 7/30 + 3/10 =

31/108 - 43/120 + 59/150 =

13/2 + 7/2 - 15/2 - 5/2 =

1/4 - 1/5 + 1/6 - 1/8 =

15/16 - 1/48 - 1/96 - 1/80 =

7/11 - 1/121 - 1/1331 + 1/6 =

3 + 3/5 - 1/8 =

5 - 1/5 + 3/2 =

10/3 - 1/6 + 2 =

1/3 - 10 + 8/3 - 3 +10 =

10/5 + 100/10 - 5 + 20/4 - 12 =

a/b - c/d + e/f =

2·6/6·8

5·20·18/3·6·10

49·56·32/14·143·84

8·9·49·33/21·28·11·6

17·28·204·3200/50·100·49·34

2·3·5·6·7/4·12·10·18·14

350·1200·4000·620·340/1000·50·200·800·170

12·9·25·35·34/16·10·27·49·17

Ejercicios para Resolver: Miscelánea

Simplificar:

3/8 - ( 1/6 + 1/12 ) =

( 1/2 + 1/3 ) - 5/6 =

( 2/3 + 3/4 + 1/12 ) - 3/2 =

( 33/4 + 1/8 - 5 ) - 10/3 =

( 1/2 + 4/3 ) - ( 1/2 + 1/6 ) =

( 6 - 1/5 ) - ( 4 - 1/3 ) =

( 20 - 1/10 ) - ( 8 - 1/25 ) =

180 - 16/5 - ( 7/3 + 1/6 - 1/9 ) =

(2/3)(3/2) =

(1/3)(-9/5)(25/2)(-4) =

(5)(-6/25)(-1/3)(-27) =

(7/19)(19/13)(26/21) =

(3/5)(17/19)(5/34)(38/75) =

(1/3)(-1/2)(1/7)(14) =

(3)(1/3)(3/5) =

(1/2)(1/3)(1/5) =

( 1/2 - 1/3 )·6 =

( 1/2 + 3/4 )·( 1/5 ) =

( 2 + 1/4 )( 6 - 1/30 ) =

( 7/8 + 2/9 )( 36 )( 1/79 ) =

( 2/3 - 1/4 )( 2/3 + 3/4 ) =

( 7/4 - 1/8 - 1/16 )( 2/3 ) =

( 1/3 ) / ( 1/9 ) =

( 2/4 ) / ( - 1/16 ) =

( 1/3 + 2/30 ) / ( 1/6 ) =

( 1 - 1/3 ) / (1 - 1/5 ) =

3/5 / ( 2/3 + 5/6 ) =

( 4 - 1/4 )( 5 - 1/5 ) / ( 1/18 ) =

( 1/2 - 1/3 )( 2 - 1/5 ) / ( 1 - 1/3 ) =

( 5 / ( 1/5 ) ) / ( 2 / ( 1/3 ) ) =

( 7/3 - 7/6) / ( 13/4 + 17/8 ) / ( 28/129 ) =

( 1/2 + 1/2 ) / ( 1/4 + 3/4 ) / ( 1/5 + 4/5 ) =

Números Decimales

Las fracciones de la forma m/10n, m pertenece a Z y n pertenece a N, cuyo denominador es una potencia de 10, se llaman fracciones decimales o números decimales. Por lo tanto, un número racional a/b es un número decimal si puede escribirse como una fracción decimal m/10n, es decir a/b = m/10n para algún m que pertenezca a Z y algún n que pertenezca a N.

Notación Científica

Un número decimal d, se dice que esta expresado en notación científica, si se escribe como el producto de un número decimal de k comprendido entre 1 y 10 por una potencia de 10 con exponente entero, es decir, d = k·10q, en donde k es un número decimal tal que 1= k < 10 ( o sea, k tiene un único dígito no nulo antes de la coma decimal ) y q pertenece a Z.

Por ejemplo:

d = 675,12 su notación científica es d = 6,7512 · 102

d = 0,00564 su notación científica es d = 5,64 · 10-3

d = -153010000 se escribe en notación científica mediante d = -1,5301 · 108

Ejercicios para Resolver.-

Escribe los siguientes Números en la notación científica: 3,1415 3,141592 1,41 14,192 0,00356 0,00012 40013 3047200

Potenciación (Exponente Racional)

an= b donde a : base , n : exponente ; el exponente pertenece a Q

Radicación

Leyes de la Radicación:

1.- Ley de Uniformidad: (a) La raíz de un grado dado de un número tiene un valor único o siempre es igual. (b) Si a dos miembros de una igualdad se extrae una misma raíz, la igualdad subsiste.

2.- Ley Distributiva: la radicación no es distributiva con relación a la suma y a la resta; lo es solo para la multiplicación y división.

Propiedades:

Teorema.- (raíz de un producto) La raíz de cualquier grado de un producto dado de varios factores es igual al producto de las raíces del mismo grado de cada uno de los factores.

Teorema.- (raíz de una fracción) La raíz de cualquier grado de un cociente exacto, es igual a la raíz de dicho grado del numerador sobre la raíz del mismo grado del denominador.

Teorema.- ( raíz de una potencia ) La raíz de cualquier grado de una potencia se obtiene dividiendo el exponente de la potencia por el índice de la raíz.

Definición.- Una cantidad elevada a un exponente fraccionario, equivale a una raíz cuyo índice es el denominador del exponente y la cantidad subradical es la base de la potencia elevada al exponente que indica el numerador de su exponente.

Teorema.- (raíz de una raíz) La raíz de cualquier grado de una raíz se obtiene multiplicando los índices de ambas raíces.

Simplificación de Radicales:

Un radical esta reducido a su más simple expresión cuando descomponiendo en sus factores primos la cantidad subradical, se observa que todos los factores primos están elevados a exponentes menores que el índice del radical.

Para reducir un radical a su más simple expresión se descompone la cantidad subradical en factores primos.

Operaciones con Radicales:

1.- Suma y Resta de Radicales: simplifíquense los radicales dados, si es posible, y efectúense las operaciones dadas.

2.- Multiplicación de Radicales: para multiplicar radicales del mismo índice se multiplican los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí, y el producto de las cantidades subradicales se coloca bajo el signo radical común.

3.- División de Radicales: para dividir radicales del mismo índice se dividen los coeficientes entre sí y las cantidades subradicales entre sí y el cociente de las cantidades subradicales se coloca bajo el signo radical común.

4.- Potencias de Radicales: para elevar un radical a una potencia cualquiera, se eleva a esa potencia la cantidad subradical.

5.- Raíces de Radicales: se multiplica los índices de los radicales y se coloca la cantidad subradical bajo un radical que tenga por índice el producto de los índices de los radicales.

Ejercicios para Resolver.-

Efectuar:

(4·25)1/2 =

(64·81·100)1/2=

(8·27·216)1/3 =

(4 / 25)1/2 =

(8 / 216)1/3 =

( (400·25)1/2 )1/2 =

( (8·27·216)1/3 )2 =

(50)1/2 =

(3/8)((80)1/2) =

(24)1/3 =

(45)1/2 + (80)1/2 =

2(3)1/2 + 5(27)1/2 - (48)1/2 =

(24)1/3 + (81)1/3 =

5(16)1/3 + (81)1/3 - (128)1/3 =

(2)1/2 (6)1/2 =

3·(10)1/2·7·(14)1/2·(5)1/2 =

(8)1/2/(2)1/2 =

((5)1/2)2 =

Los Polinomios

Monomio: es una expresión algebraica que consta de un solo término, como: 3a, -5b, x2y/2z3, etc. Ejemplo.- 1) 3ax; 2) -2xy2; 3) 8ab3x; 4) 3ax-2y; 5) x2+2x-4. En las tres primeras expresiones no aparecen sumas entre términos mientras que en a 4) y la 5) sí. En los tres primeros casos se trata de monomios mientras que en los otros dos no. Podemos decir por tanto que: Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.

Polinomio: es una expresión algebraica que consta de más de un término, como: a+b, a+x-y, x3+3x2-10x-20, etc. Son combinaciones de sumas y restas en las que la variable poseen sólo exponentes naturales (positivos), o sea que la x no puede estar en raíz o con signo negativo, ni tampoco dividiendo. Se llama grado de un polinomio al mayor exponente con el que aparece la variable. Se denomina coeficiente al número que aparece multiplicando a la variable. El coeficiente principal es el coeficiente del término de mayor grado (sí dicho coeficiente es 1, al polinomio se lo denomina mónico). El término independiente es el número que aparece sin estar multiplicado por x (o bien, multiplicado por x0, o, directamente 1).

Binomio: es un polinomio que consta de dos términos, como: a+b, x-y, x2-y5, a2/b3-1/m, etc.

Trinomio: es un polinomio que consta de tres términos, como: a+b+c, x2-5x+6, 5x2-6y3+10a4/3, etc.

Grado de un Polinomio: puede ser absoluto o con relación a una letra.

a) Grado Absoluto de un Polinomio: es el exponente de su término de mayor grado. Así, el polinomio x2-10x5+10, es de grado 5.

b) Grado de un Polinomio con relación a una letra: es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. Así, el polinomio a6b3+a2b-ab7, es de sexto grado con relación a la "a" y de séptimo grado con relación a la "b".

Ordenamiento de Polinomios: un polinomio esta ordenado, cuando los exponentes de la variable están ordenados. Cuando los exponentes están ordenados de mayor a menor, decimos que el polinomio esta ordenado en forma decreciente; de menor a mayor, decimos que el polinomio esta ordenado en forma creciente.

Polinomios Completos y Ordenados: Supongamos que tenemos el polinomio Q(x)=1-(1/2)x3+3x4-2x. Este polinomio ordenado es Q(x)=3x4-(1/2)x3-2x+1. Y completo y ordenado sería así: Q(x)=3x4-(1/2)x3+0x2-2x+1.

Término Independiente de un Polinomio: es el término que no esta acompañado de letras, por ejemplo: para el polinomio x3-2x2-10x+100, su término independiente es 100.

Términos Semejantes: dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. Ejemplos: 2a y -3a, -3a2b4 y 12a2b4, etc.

Reducción de Términos Semejantes: es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término, dos o más términos semejantes. En la reducción de términos semejantes pueden ocurrir los tres casos siguientes:

1) Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo: se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen en común los términos y a continuación se escribe la parte literal.

2) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo: se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.

3) Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos: se reducen a un solo término todos los positivos, se reducen a un solo término todos los negativos, y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior.

Valor Numérico de un Polinomio: es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas. Tomemos P(x)=-2x3+(1/2)x2-3. Entonces P(1)=-2(1)3+(1/2)(1)2-3, lo que implica que P(1)=-9/2. Si en lugar de 1 usamos -2 (como podríamos usar cualquier otro número) sería P(-2)=-2(-2)3+(1/2)(-2)2-3 y esto hace que P(-2)=15.

Ejercicio.- Calcular el valor numérico de la expresión algebraica a2-2ax+4 en los casos:

a) a=2 ; x=3

b) a=-2 ; x=1

Raíces del Polinomio:

Se llaman raíces o ceros de un polinomio a los valores de x que hacen cero dicho polinomio. Si P(a)=0, implica que x=a es una raíz o cero del polinomio. Tomemos R(-1)=x3-3x2-2x+2, entonces R(-1)=(-1)3-3*(-1)2-2(-1)+2. O sea, R(-1)=0, es decir, x=-1 es una raíz o cero del polinomio.

Operaciones Elementales con Polinomios:

1) Suma o Adición: es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). Se puede realizar la adición sólo cuando usamos la misma variable (la misma letra) con el mismo exponente. En las sumas no hay necesidad de ordenar el polinomio. Al sumar, sólo se suman los coeficientes (no las x ni los exponentes).

2) Resta o Sustracción: es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo. Para restar dos polinomios, se le suma al primero el opuesto del segundo siguiendo la forma: P(x)-Q(x)=P(x)+[-Q(x)].

3) Multiplicación: es una operación que tiene como fin, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva. El multiplicando y el multiplicador son llamados factores del producto. Recordemos que en la multiplicación de potencias de igual base, se suman los exponentes: x.x2 = x3. Y cuando hacemos potencia de potencia, se multiplican los exponentes: supongamos, ((1/4)x2)2=(1/16)x4

4) División: es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente). De esta definición se deduce que el cociente multiplicado por el divisor reproduce el dividendo. Regla para dividir dos polinomios: (a) Se ordenan el dividendo y el divisor en forma decreciente y se completa con ceros donde falten términos. (b) Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer término del cociente. (c) Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene termino semejante en el dividendo se escribe en el lugar que le corresponda dé acuerdo con la ordenación del dividendo y el divisor. (d) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. (e) Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores; y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

Teorema del Residuo (o Teorema del Resto): El residuo de dividir un polinomio entero y racional en x por un binomio de la forma x - a se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la x por a. Un polinomio ordenado en x suele expresarse abreviadamente por la notación P(x) y el resultado de sustituir en este polinomio la x por a se escribe P(a). En general, el residuo de dividir un polinomio ordenado en x por un binomio de la forma bx - a se obtiene sustituyendo en el polinomio dado la x por el racional a/b.

Corolarios del Teorema del Residuo:

1) Divisibilidad por (x-a): un polinomio entero en x que se anula para x = a, o sea sustituyendo en él la x por a, es divisible por (x-a). Es condición necesaria para que un polinomio en x sea divisible por un binomio de la forma (x-a), que el término independiente del polinomio sea múltiplo del término a del binomio, sin tener en cuenta los signos. Así el polinomio 3x4+2x3-6x2+8x+7 no es divisible por el binomio x-3, porque el término independiente del polinomio 7, no es divisible por el término numérico del binomio, que es 3. Esta condición no es suficiente, es decir, que aun cuando el término independiente del polinomio sea divisible por el término a del binomio, no podemos afirmar que el polinomio en x sea divisible por el binomio (x-a).

2) Divisibilidad de an+bn y an-bn por (a+b) y (a-b):

an-bn es siempre divisible por (a-b), ya sea n par o impar.

an+bn es divisible por (a+b) si n es impar.

an-bn es divisible por (a+b) si n es par.

an+bn no es divisible por (a+b) si n es par.

an+bn nunca es divisible por (a-b), ya sea n par o impar.

Ejercicios para Resolver.-

1. Supóngase los Polinomios: P(x) = 5 - 6x4 + (1/5)x2 - (3/5)x3; Q(x) = - 3x3 - 2x - (1/3)x2; W(x) = x2 + 6x + 9; H(x) = - x + 2; M(x) = x - (1/2).

Realizar las siguientes operaciones:

P(x) - Q(x) +M(x) =

- P(x) - W(x) - H(x) =

P(x)Q(x) =

W(x)( Q(x)P(x) ) =

P(x) / H(x) =

Q(x) / M(x) =

P(x) / W(x) =

H(x) [ P(x) + M(x) ] =

Calcular las raíces del polinomio W(x)

P(-(1/2)) ; W(-3) ; H(2) ; W(-3)H(2) ; Q(0) ; Q(1/2) ; M(3/5)

2. Hallar, sin efectuar la división, el Residuo de dividir:

x2 - 2x + 3 entre x - 1

x3 - 3x2 +2x - 2 entre x + 1

x4 - x3 + 5 entre x - 2

a4 - 5a3 + 2a2 - 6 entre a + 3

m5 + 34 - 2m3 + 4m2 - 2m + 2 entre m + 3

y5 - 2y3 + 2y - 4 entre y - 5

5x4 - 12x3 + 9x2 - 22x + 21 entre 5x - 2

a6 + a4 - 8a2 + 4a + 1 entre 2a + 3

15x3 - 11x2 + 10x + 18 entre 3x + 2

3. Factorizar usando la regla de Ruffini:

P(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6

H(x) = x6 - 9x3 + 8

W(x) = x4 - 58x2 + 441

P(x) = x4 - 5x2 + 4

Productos Notables

Se llama productos notables a ciertos productos que cumplan reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.

Fórmulas más usadas:

(a±b)2=a2±2·a·b+b2

(a±b)3=a3±3·a2·b+3·a·b2±b3

(a + b)(a - b) = a2 - b2

(x + a)(x + b) = x2 + (a+b)x +ab

Ejercicios Resueltos:

Sean a, b, c y d números reales, entonces:

1.- a(b+c-d)= ab + ac - ad

Ejemplos:

3a(2b+5c-7) = 6ab + 15ac - 21a

15ab-25ac+20a3 = 5a(3b-5c+4a2)

2.- (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Ejemplos:

(b+2)(c-4) = bc - 4b + 2c - 8

ab + ac - 3b - 3c = a(b+c) - 3(b+c) = (b+c)(a-3)

3.- (a+b)(a+c) = a2 + (b+c)a + bc

Ejemplos:

(c+8)(c-3) = c2 + (8-3)c - 24 = c 2 + 5c - 24

d2 - 3d - 28 = (d-7)(d+4)

4.- (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

Ejemplos:

(a+8)2 = a2 + 16a + 64

c2 + 18c + 81 = (c+9)2

5.- (a-b)2 = a2 - 2ab + b2

Ejemplos:

(d-5)2 = d2 - 10d + 25

b2 - 14b + 49 = (b-7)2

6.- (a+b)(a-b) = a2 - b2

Ejemplos:

(3a+4b)(3a-4b)= 9a2 - 16b2

49a2 - 25c2 = (7a+5c)(7a-5c)

7.- (a+b+c)2=a2 + b2 + c2 + 2(ab+ac+bc)

Ejemplo:

(2a+3b-4)2 = 4a2 + 9b2 + 16 + 2(6ab-8a-12b)= 4a2 + 9b2 + 16 + 12ab - 16a - 24b

8.- (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Ejemplo:

(c+2)3 = c3 + 6c2 + 12c + 8

9.- (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Ejemplo:

(d-5)3 = d3 - 15d2 + 75d - 125

10.- (a+b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3

Ejemplo:

a3 + 27 = (a+3)(a2 - 3a + 9 )

11.- (a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3

Ejemplo:

b3 - 8 = (b-2)(b2 + 2b + 4 )

12.- (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2) = a4 + a2b2 + b4

Ejemplo:

(4a2 + 6ab + 9b2)(4a2 - 6ab + 9b2) = 16a4 + 36a2b2 + 81b4

Trigonometría

Trigonometría: significa medida de los ángulos de un triángulo; relacionar lados con ángulos. La Astronomía se cree que fué el origen de la trigonometría. Hiparco (s. II AC) se considera el padre de la Trigonometría. Menelao (s. I) y Ptolomeo (s. II) continuaron su estudio. Los árabes, que estuvieron muy interesados en la Astronomía, divulgaron la trigonometría en la Edad Media.

Ángulo: es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen. Ese punto, origen de ambas semirrectas, es el vértice del ángulo; las dos semirrectas son los lados del ángulo. Cuando las dos semirrectas son perpendiculares, al ángulo se le llama recto, y cuando una de ellas es prolongación de la otra, el ángulo es llano. Ángulos menores que un ángulo recto son ángulos agudos, y ángulos mayores que un ángulo recto, pero menores que un ángulo llano son ángulos obtusos. Dos ángulos son complementarios si suman un ángulo recto. Dos ángulos son suplementarios si suman un ángulo obtuso. Para medir ángulos se pueden utilizar tres unidades de medida: grados sexagesimales, centesimales y radianes. En los grados sexagesimales, un ángulo recto tiene 90 grados, un grado sesenta minutos y un minuto sesenta segundos. En los grados centesimales, un ángulo recto tiene 100 grados, un grado 100 minutos y un minuto 100 segundos. En los radianes se utiliza la longitud del arco como medida del ángulo. La unidad es por lo tanto el radio de la circunferencia. Un Radian es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio.

Ángulos: Arcos y sus medidas

Grados y Radianes

Las unidades de medida de ángulos mas conocidas son los grados, minutos y segundos. Este tipo de medidas está basado en la división en partes iguales de una circunferencia. Las equivalencias son las siguientes:

360º = un giro completo alrededor de una circunferencia

180º = 1/2 vuelta alrededor de una circunferencia

90º = 1/4 de vuelta

1º = 1/360 de vuelta, etc.

También se puede definir otra unidad angular, el radian, que en las aplicaciones físicas es mucho mas práctico y directo que trabajar con grados. La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividido por el valor del radio. El valor de este ángulo es independiente del valor del radio; por ejemplo, al dividir una pizza en 10 partes iguales, el ángulo de cada pedazo permanece igual, independiente si la pizza es chica, normal o familiar. De esta forma, se puede calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia; solo basta multiplicar el radio por el ángulo en radianes.

Long. arco de circunferencia = [Ángulo en radianes] x [Radio de la circunferencia]

Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario (2pir = 2pi), entonces el ángulo de una circunferencia completa, medido en radianes es 2pi. Como además sabemos que este mismo ángulo, medido en grados mide 360º, entonces podemos definir una equivalencia: 1 radian = 57,29º a partir de esta igualdad, determinamos que:

90º = pi/2 radianes recuerde que pi = 3,1416...

60º = pi/3 radianes

45º = pi/4 radianes

30º = pi/6 radianes

Funciones Seno y Coseno

El triángulo OAB es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las funciones seno y coseno.

En un triángulo rectángulo, sen (alfa) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, cos (alfa) es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan:

Sen(alfa) = |AB|/|OA| = |AB|/1 = |AB|

Cos(alfa) = |OB|/|OA| = |OB|/1 = |OB|

A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:

TABLA

Como en el triángulo rectángulo se cumple que a2 + b2 = c2, de la figura anterior se tiene que sen(alfa) = a, cos(alfa) = b, c = 1; entonces: (sen(alfa))2 + (cos(alfa))2 = 1 para todo ángulo.

Algunas identidades trigonométricas importantes son:

sen(90º - alfa) = cos(alfa)

cos(90º - alfa) = sen(alfa)

sen(180º - alfa) = sen(alfa)

cos(180º - alfa) = -cos(alfa)

sen(2(alfa)) = 2sen(alfa)cos(alfa)

sen(alfa+beta) = sen(alfa)cos(beta) + cos(alfa)sen(beta)

cos(alfa+beta) = cos(alfa)cos(beta) - sen(alfa)sen(beta)

Función Tangente

En un triángulo rectángulo, la tangente es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Tan(alfa) = AB/OB = OC/AC = sen(alfa)/cos(alfa)

Tan(pi/2) = tan(90º) = +infinito

Tan(-pi/2) = tan(-90º) = -infinito

Tan(0) = 0

Tan(pi/4) = tan(45º) = 1

Tan(pi/3) = tan(60º)= (3)1/2

Tan(pi/6) = tan(30º) = (3)1/2/3

Una identidad importante con la tangente es:

Tan(alfa+beta) = (tan(alfa) + tan(beta)) / (1 - tan(alfa) + tan(beta))

Dado un triángulo abc, con ángulos A, B, C; a está opuesto a A; b opuesto a B; c opuesto a C.

Ley del Seno

a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C)

Ley del Coseno

c2 = a2 + b2 - 2abCos(C)

b2 = a2 + c2 - 2acCos(B)

a2 = b2 + c2 - 2bcCos(A)

Ley de la Tangente

(a-b)/(a+b) = tan((A-B)/2) / tan((A+B)/2)

Ejercicios Resueltos-

Ejercicios.-

Sabiendo que senA = 4/5, calcula las demás razones trigonométricas de A sabiendo que es un ángulo del segundo cuadrante.

Sabiendo que cosA = -(3)1/2/2, sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones trigonométricas de A, y el ángulo A, sabiendo que está en el segundo cuadrante.

Sabiendo que cosA = -1/2, sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones trigonométricas de A, y el ángulo A, sabiendo que es un ángulo del segundo cuadrante.

Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 315º.

Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 240º.

Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 300º.

Resolver el siguiente triángulo, sabiendo que a=12 y A=30º.

Resolver el triángulo anterior, sabiendo que A=30º y c=20, sin utilizar la calculadora.

Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30º con nuestra orilla.

Calcular la anchura del río.

Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio.

Un edificio proyecta una sombra de 150 m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30' sobre el horizonte, calcular la altura del edificio.

Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 150 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 15º con nuestra orilla. Calcular la anchura del río.

Sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 135º.

Desde un punto A en la orilla de un río, cuya anchura es de 50 m., se ve un árbol justo enfrente. ¿Cuánto tendremos que caminar río abajo, por la orilla recta del río, hasta llegar a un punto B desde el que se vea el pino formando un ángulo de 60º con nuestra orilla?

Resolver las siguientes cuestiones:

Sin utilizar la calculadora, expresa en radianes 150º, 315º, 120º, 210º, 75º y 330º

Sin utilizar la calculadora, expresa en grados: 3pi/2, pi/6, pi/3, pi/5, 2pi/5, 5pi/2